合成関数の微分

なにかに使えるかも知れないので、あらためて復習してみる。

合成関数の微分

1変数関数の場合

 y = f(t),\, t=g(x)から成る合成関数  y = f(g(x))微分:

 \begin{align}
\displaystyle 
\dfrac{\,\mathrm{d} y\,}{\mathrm{d} x} = \dfrac{\,\mathrm{d} y\,}{\mathrm{d} t} \! \cdot \! \dfrac{\,\mathrm{d} t\,}{\mathrm{d} x}
\end{align}


かなり適当な導出:*1
Step 0
関数  y = f(x)微分の定義を、以下に示します。
 
\begin{align}
\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
\end{align}

Step 1
改めて  y = f(t),\, t=g(x)から成る合成関数の微分を考えましょう。 まず微分の定義より、以下を得ます。
 
\begin{align}
\displaystyle 
\dfrac{\,\mathrm{d} y\,}{\mathrm{d} x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{ f( g(x + \Delta x)) - f(g(x)) }{ \Delta x}
\end{align}

Step 2
次に  g(x + \Delta x) = g(x) + \Delta t と置き、さらに  \Delta t について解きます*2
 \begin{align}
\Delta t = g(x + \Delta x) - g(x)
\end{align}

極限を取ると
 
\begin{align}
\displaystyle
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta t = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \bigl[ g(x + \underbrace{\Delta x}_{0}) - g(x) \bigr] = 0
\end{align}
すなわち、 \Delta x \rightarrow 0 のとき  \Delta t \rightarrow 0 となります。

Step 3
さらに  g(x) = t と置き、以下のように式変形を行うことにより  \frac{\,\mathrm{d} y\,}{\mathrm{d} x} = \frac{\,\mathrm{d} y\,}{\mathrm{d} t} \! \cdot \! \frac{\,\mathrm{d} t\,}{\mathrm{d} x} を得ます。
 
\begin{align}
\displaystyle 
\dfrac{\,\mathrm{d} y\,}{\mathrm{d} x} &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{ f( \overbrace{g(x + \Delta x)}^{ g(x) + \Delta t}) - f(g(x)) }{ \Delta x} \! \cdot \! \underbrace{ \dfrac{\, \Delta t \,}{\Delta t} }_{1} \\
 &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0 \\ (\Delta t \rightarrow 0)} \dfrac{ f( \overbrace{g(x)}^{t} + \Delta t)) - f(\overbrace{g(x)}^{t}) }{ \Delta t} \! \cdot \! \dfrac{\,\Delta t\,}{\Delta x}\\
&=  \lim_{\Delta x \rightarrow 0 \\ (\Delta t \rightarrow 0)} \dfrac{ f( t + \Delta t)) - f(t) }{ \Delta t} \! \cdot \! \dfrac{\overbrace{\, \Delta t \,}^{g(x + \Delta x) - g(x)}}{\Delta x}\\
&= \underbrace{ \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \dfrac{ f( t + \Delta t)) - f(t) }{ \Delta t} }_{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}} \! \cdot \! \underbrace{ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} }_{\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}}
\end{align}

多変数関数の場合

 z = f(t_1,\, \cdots ,\, t_n),\, t_i =  g_i (x_1,\, \cdots ,\, x_m) から成る合成関数  z偏微分:

 
\begin{align}
\displaystyle
\dfrac{\partial z}{\partial x_{k}} &= \dfrac{\partial f }{\partial t_{1}} \! \cdot \! \dfrac{\partial t_{1}}{\partial x_{k}} + \cdots + \dfrac{\partial f }{\partial t_{n}} \! \cdot \! \dfrac{\partial t_{n}}{\partial x_{k}} \\
&= \sum_{i = 1}^{n}\dfrac{\partial f }{\partial t_{i}} \! \cdot \! \dfrac{\partial t_{i}}{\partial x_{k}}
\end{align}

*1:この導出は、厳密には不正確です。 g(x) が定数関数の場合、常に  \Delta t = 0 となるため、計算の途中でゼロ割りが発生してしまうためです。

*2:単に移項しただけです。

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